Предел последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Число e. Написать коротко и грамотно
Предел последовательности — это значение, к которому стремится последовательность при бесконечном увеличении её индекса. Формально, последовательность ( a_n ) имеет предел ( L ), если для любого положительного числа ( \epsilon ) существует такое натуральное число ( N ), что для всех ( n > N ) выполняется неравенство ( |a_n - L| < \epsilon ).
Бесконечно малые последовательности — это последовательности, члены которых стремятся к нулю при ( n \to \infty ). Например, последовательность ( a_n = \frac{1}{n} ) является бесконечно малой, так как ( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 ).
Бесконечно большие последовательности — это последовательности, члены которых стремятся к бесконечности при ( n \to \infty ). Например, последовательность ( b_n = n ) является бесконечно большой, так как ( \lim_{n \to \infty} b_n = \infty ).
Число ( e ) — это математическая константа, равная примерно 2.71828, и является основанием натурального логарифма. Оно определяется как предел последовательности ( \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n ) при ( n \to \infty ) и также может быть выражено через ряд Тейлора:
[ e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}. ]
Число ( e ) играет важную роль в математике, особенно в анализе, теории вероятностей и дифференциальных уравнения