أ ( بطريقة كوشي – أويلر أوجد حل المعادلة التفاضلية(𝑥2𝐷2 − 2𝑥𝐷 + 2)𝑦 = 0
لحل المعادلة التفاضلية من النوع كوشي-أويلر، نبدأ بكتابة المعادلة على الشكل القياسي:
[ x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} - 2x \frac{dy}{dx} + 2y = 0 ]
نقترح حلاً من الشكل ( y = x^r )، حيث ( r ) هو ثابت نحتاج إلى إيجاده. نبدأ بحساب المشتقات الأولى والثانية لـ ( y ):
[ \frac{dy}{dx} = r x^{r-1} ] [ \frac{d^2 y}{dx^2} = r (r-1) x^{r-2} ]
نستبدل هذه المشتقات في المعادلة الأصلية:
[ x^2 \cdot r (r-1) x^{r-2} - 2x \cdot r x^{r-1} + 2 x^r = 0 ]
ن��سط الم��ادلة:
[ r (r-1) x^r - 2r x^r + 2 x^r = 0 ]
نخرج ( x^r ) كعامل مشترك:
[ x^r [r (r-1) - 2r + 2] = 0 ]
لأن ( x^r \neq 0 ) لكل ( x \neq 0 )، يجب أن يكون:
[ r (r-1) - 2r + 2 = 0 ]
نحل المعادلة التربيعية:
[ r^2 - r - 2r + 2 = 0 ] [ r^2 - 3r + 2 = 0 ]
نحلل المعادلة التربيعية:
[ (r-1)(r-2) = 0 ]
إذن، الحلول هي:
[ r = 1 ] [ r = 2 ]
بما أن لدينا جذور حقيقية ومختلفة، فإن الحل العام للمعادلة التفاضلية هو:
[ y(x) = C_1 x^1 + C_2 x^2 ]
أو ببساطة:
[ y(x) = C_1 x + C_2 x^2 ]
حيث ( C_1 ) و ( C_2