لتزويدك بإجابات دقيقة حول هذه الأسئلة الرياضية المتقدمة، سأقوم بمحاولة تقديم الحلول لكل بند قدر الإمكان.
السؤال الأول: (15 درجة)
أ)
المعادلة هي: [ \frac{dx}{dy} = \frac{1 + y^2}{y \cos x} ]
[ \frac{dx}{dy} = \frac{1 + y^2}{y \cos x} ]
نجعل المشتقات في طرف والمتغيرات في الطرف الآخر:
[ \cos x , dx = \frac{1 + y^2}{y} , dy ]
نقوم بالتكامل على الجهتين:
[ \int \cos x , dx = \int \frac{1 + y^2}{y} , dy ]
نحل التكامل:
[ \sin x = \int \left( \frac{1}{y} + y \right) , dy = \ln |y| + \frac{y^2}{2} + C ]
بالتالي يكون الحل:
[ \sin x = \ln |y| + \frac{y^2}{2} + C ]
ب)
[ x^2 + y^2 = 1 ]
الحل لهذه المعادلة في الحدود ( -1 < x < 1 ):
هذه تحمل حلول
السؤال الأول: (15 درجة)
أ)
المعادلة هي: [ \frac{dx}{dy} = \frac{1 + y^2}{y \cos x} ]
[ \frac{dx}{dy} = \frac{1 + y^2}{y \cos x} ]
نجعل المشتقات في طرف والمتغيرات في الطرف الآخر:
[ \cos x , dx = \frac{1 + y^2}{y} , dy ]
نقوم بالتكامل على الجهتين:
[ \int \cos x , dx = \int \frac{1 + y^2}{y} , dy ]
نحل التكامل:
[ \sin x = \int \left( \frac{1}{y} + y \right) , dy = \ln |y| + \frac{y^2}{2} + C ]
بالتالي يكون ال��ل:
[ \sin x = \ln |y| + \frac{y^2}{2} + C ]
ب)
[ x^2 + y^2 = 1 ]
الحل لهذه المعادلة في الحدود ( -1 < x < 1 ):
هذه المعادلة تمثل دائرة نصف قطرها 1 ومركزها عند النقطة (0,0). في الحدود ( -1 < x < 1 )، يمكننا إيجاد قيم ( y ) باستخدام:
[ y = \pm \sqrt{1 - x^2} ]
لذلك، الحلول هي:
[ y = \sqrt{1 - x^2} ] [ y = -\sqrt