ب ( أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية التي تؤول إلى معادلة تفاضلية تامة 𝑦(𝑥 + 𝑦 + 1)𝑑𝑥 + (𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑦 = 0
لحل المعادلة التفاضلية التامة، نبدأ بفحص ما إذا كانت المعادلة التفاضلية المعطاة تامة أم لا. المعادلة المعطاة هي:
[ y(x + y + 1) , dx + (x + 2y) , dy = 0 ]
نكتبها بالشكل القياسي:
[ M(x, y) , dx + N(x, y) , dy = 0 ]
حيث: [ M(x, y) = y(x + y + 1) ] [ N(x, y) = x + 2y ]
لنتحقق مما إذا كانت المعادلة تامة، يجب أن يكون:
[ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} ]
نحسب المشتقات الجزئية:
[ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} [y(x + y + 1)] = x + 2y + 1 ]
[ \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} [x + 2y] = 1 ]
نلاحظ أن:
[ \frac{\partial M}{\partial y} = x + 2y + 1 ] [ \frac{\partial N}{\partial x} = 1 ]
بما أن (\frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x})، فإن المعادلة ليست تامة. ولكن يمكننا محاولة إيجاد عامل تكامل يجعلها تامة.
نبحث عن عامل تكامل (\mu(x, y)) بحيث تصبح المعادلة:
[ \mu(x, y) M(x, y) , dx + \mu(x, y) N(x, y) , dy = 0 ]
تامة. نختار عامل التكامل (\mu(x, y) = \frac{1}{y}) (لأن (M) و(N) يحتويان على (y) في كل حد).
نضرب المعادلة الأصلية في (\frac{1}{y}):
[ (x + y + 1) , dx + \left(\frac{x}{y} + 2\right) , dy = 0 ]
الآن نتحقق مما إذا كانت المعادلة الجديدة تامة:
[ M'(x, y) = x + y + 1 ] [ N'(x, y) = \frac{x}{y} + 2 ]
نحسب المشتقات الجزئية:
[ \frac{\partial M'}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} [x + y + 1] = 1 ]
[ \frac{\partial N'}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left[\frac{x}{y} + 2\right] = \frac{1}{y} ]
نلاحظ أن:
[ \frac{\partial M'}{\partial y} = 1 ] [ \frac{\partial N'}{\partial x} = \frac{1}{y} ]
بما أن (\frac{\partial M'}{\partial y} \neq \frac{\partial N'}{\partial x})، فإن المعادلة الجديدة أيضًا ليست تامة. يبدو أن اختيار عامل التكامل (\frac{1}{y}) لم يكن صحيحًا.
لذا، نحتاج إلى إعادة النظر في طريقة الحل أو البحث عن عامل تكامل آخر. يمكن أن تكون المعاد