Conditions de divisibilité de \((3x + 1)^n\) par \(2^p\)

(3x+1)exp(n) est-il divisible par (2)exp(p)

Pour déterminer si ((3x + 1)^n) est divisible par (2^p), nous devons examiner les conditions sous lesquelles cette divisibilité est possible.

1. Expression de base: ((3x + 1)^n)
2. Diviseur: (2^p)

Analyse de la divisibilité

Pour que ((3x + 1)^n) soit divisible par (2^p), il faut que ((3x + 1)^n \equiv 0 \pmod{2^p}).

Cas de base : (p = 1)

Pour (p = 1), nous avons (2^1 = 2). Donc, ((3x + 1)^n) doit être divisible par 2. Cela signifie que (3x + 1) doit être pair.

• (3x + 1) est pair si et seulement si (3x) est impair.
• (3x) est impair si et seulement si (x) est impair.

Donc, pour (p = 1), (x) doit être impair.

Cas général : (p > 1)

Pour (p > 1), nous devons examiner les puissances de 2 dans la factorisation de ((3x + 1)^n).

1. Condition initiale: (3x + 1) doit être divisible par 2, donc (x) doit être impair.
2. Puissance de 2: Si (x) est impair, alors (3x + 1) est pair. Nous devons maintenant vérifier combien de fois 2 divise (3x + 1).

Soit (3x + 1 = 2k) pour un certain entier (k). Nous devons examiner la puissance de 2 dans (2k).

• Si (k) est pair, alors (3x + 1) est divisible par (2^2).
• Si (k) est impair, alors (3x + 1) est divisible par (2^1).

Pour que ((3x + 1)^n) soit divisible par (2^p), il faut que (2^p) divise ((2k)^n).

• Si (k) est pair, alors (2k = 2m) pour un certain entier (m), et ((2m)^n = 2^n \cdot m^n). La puissance de 2 dans ((2m)^n) est (n + \text{puissance de 2 dans } m^n).
• Si (k) est impair, alors (2k) a une seule puissance de 2, donc ((2k)^n = 2^n \cdot k^n). La puissance de 2 dans ((2k)^n) est (n).

Conclusion

Pour que ((3x + 1)^n) soit divisible par (2^p), il faut que (n \geq p) et que (x) soit impair. En d'autres termes, la condition nécessaire et suffisante est que (x) soit impair et que (n \geq p).

Si ces conditions sont remplies, alors ((3x + 1)^n) sera