A题 多个火箭残骸的准确定位 绝大多数火箭为多级火箭，下面级火箭或助推器完成既定任务后，通过级间分离装置分离后坠落。在坠落至地面过程中，残骸会产生跨音速音爆。为了快速回收火箭残骸，在残骸理论落区内布置多台震动波监测设备，以接收不同火箭残骸从空中传来的跨音速音爆，然后根据音爆抵达的时间，定位空中残骸发生音爆时的位置，再采用弹道外推实现残骸落地点的快速精准定位。 问题1 建立数学模型，分析如果要精准确定空中单个残骸发生音爆时的位置坐标（经度、纬度、高程）和时间，至少需要布置几台监测设备？假设某火箭一级残骸分离后，在落点附近布置了7台监测设备，各台设备三维坐标（经度、纬度、高程）、音爆抵达时间（相对于观测系统时钟0时）如下表所示： 设备 经度(°) 纬度(°) 高程(m) 音爆抵达时间(s) A 110.241 27.204 824 100.767 B 110.780 27.456 727 112.220 C 110.712 27.785 742 188.020 D 110.251 27.825 850 258.985 E 110.524 27.617 786 118.443 F 110.467 27.921 678 266.871 G 110.047 27.121 575 163.024 从上表中选取合适的数据，计算残骸发生音爆时的位置和时间。 问题2 火箭残骸除了一级残骸，还有两个或者四个助推器。在多个残骸发生音爆时，监测设备在监测范围内可能会采集到几组音爆数据。假设空中有4个残骸，每个设备按照时间先后顺序收到4组震动波。建立数学模型，分析如何确定监测设备接收到的震动波是来自哪一个残骸？如果要确定4个残骸在空中发生音爆时的位置和时间，至少需要布置多少台监测设备？ 给出python代码
为了确定单个残骸发生音爆时的位置坐标（经度、纬度、高程）和时间，我们可以使用多台监测设备接收到的音爆抵达时间。这个问题可以看作是一个多点定位问题，类似于GPS定位。
假设音爆发生在位置 ((x, y, z)) 和时间 (t_0)，监测设备的位置为 ((x_i, y_i, z_i))，音速为 (v)，音爆抵达时间为 (t_i)。根据音速传播公式，我们有：
[ t_i = t_0 + \frac{\sqrt{(x - x_i)^2 + (y - y_i)^2 + (z - z_i)^2}}{v} ]
我们有7个方程：
[ t_1 = t_0 + \frac{\sqrt{(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 + (z - z_1)^2}}{v} ] [ t_2 = t_0 + \frac{\sqrt{(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 + (z - z_2)^2}}{v} ] [ \vdots ] [ t_7 = t_0 + \frac{\sqrt{(x - x_7)^2 + (y - y_7)^2 + (z - z_7)^2}}{v} ]
我们需要解这组非线性方程组来确定 ((x, y, z, t_0))。
为了确定四个未知数 ((x, y, z, t_0))，我们至少需要四个独立的方程，因此至少需要四台监测设备。
我们可以使用非线性最小二乘法来解这组方程。下面是使用Python的代码示例：
import numpy as np
from scipy.optimize import least_squares
# 音速 (m/s)
v = 343
# 监测设备的坐标和音爆抵达时间
data = {
'A': [110.241, 27.204, 824, 100.767],
'B': [110.780, 27.456, 727, 112.220],
'C': [110.712, 27.785, 742, 188.020],
'D': [110.251, 27.825, 850, 258.985],
'E': [110.524, 27.617, 786, 118.443],
'F': [110.467, 27.921, 678, 266.871],
'G': [110.047, 27.121, 575, 163.024]
}
# 转换为numpy数组
positions = np.array([[data[key][0], data[key][1], data[key][2]] for key in data])
times = np.array([data[key][3] for key in data])
# 初始猜测 (x, y, z, t0)
initial_guess = [110.5, 27.5, 800, 100]
# 定义残差函数
def residuals(params, positions, times, v):
x, y, z, t0 = params
residuals = []
for i in range(len(positions)):
xi, yi, zi = positions[i]
ti = times[i]
predicted_ti = t0 + np.sqrt((x - xi)**2 + (y - yi)**2 + (z - zi)**2) / v
residuals.append(predicted_ti - ti)
return residuals
# 使用最小二乘法求解
result = least_squares(residuals, initial_guess, args=(positions, times, v))
# 输出结果
x, y, z, t0 = result.x
print(f"音爆发生位置: 经度={x}, 纬度={y}, 高程={z}, 时间={t0}")
当有多个残骸时，每个监测设备会接收到多个音爆信号。我们需要将这些信号分组，并确定每个残骸的音爆位置和时间。
假设有 (N) 个残骸，每个监测设备接收到 (N) 组音爆数据。我们可以使用聚类算法（如K-means）将音爆数据分组，然后对每组数据分别应用问题1中的方法。
为了确定每个残骸的音爆位置和时间，我们至少需要 (N+3) 台监测设备。
下面是使用Python的代码示例：
import numpy as np
from scipy.optimize import least_squares
from sklearn.cluster import KMeans
# 音速 (m/s)
v = 343
# 监测设备的坐标和音爆抵达时间
data = {
'A': [110.241, 27.204, 824, [100.767, 150.767, 200.767, 250.767]],
'B': [110.780, 27.456, 727, [112.220, 162.220, 212.220, 262.220]],
'C': [110.712, 27.785, 742, [188.020, 238.020, 288.020, 338.020]],
'D': [110.251, 27.825, 850, [258.985, 308.985, 358.985, 408.985]],
'E': [110.524, 27.617, 786, [118.443, 168.443, 218.443, 268.443]],
'F': [110.467, 27.921, 678, [266.871, 316.871, 366.871, 416.871]],
'G': [110.047, 27.121, 575, [163.024, 213.024, 263.024, 313.024]]
}
# 转换为numpy数组
positions = np.array([[data[key][0], data[key][1], data[key][2]] for key in data])
times = np.array([data[key][3] for key in data]).flatten()
# 聚类
kmeans = KMeans(n_clusters=4)
labels = kmeans.fit_predict(times.reshape(-1, 1))
# 初始猜测 (x, y, z, t0)
initial_guess = [110.5, 27.5, 800, 100]
# 定义残差函数
def residuals(params, positions, times, v):
x, y, z, t0 = params
residuals = []
for i in range(len(positions)):
xi, yi, zi = positions[i]
ti = times[i]
predicted_ti = t0 + np.sqrt((x - xi)**2 + (y - yi)**2 + (z - zi)**2) / v
residuals.append(predicted_ti - ti)
return residuals
# 对每个簇分别求解
results = []
for i in range(4):
cluster_times = times[labels == i]
cluster_positions = positions[labels == i]
result = least_squares(residuals, initial_guess, args=(cluster_positions, cluster_times, v))
results.append(result.x)
# 输出结果
for i, (x, y, z, t0) in enumerate(results):
print(f"残骸{i+1}音爆发生位置: 经度={x}, 纬度={y}, 高程={z}, 时间={t0}")
这个代码示例展示了如何使用K-means聚类算法将音爆数据分组，并分别计算每个残骸的音爆位置和时间。