火箭残骸音爆定位：数学模型与设备布置分析

绝大多数火箭为多级火箭，下面级火箭或助推器完成既定任务后，通过级间分离装置分离后坠落。在坠落至地面过程中，残骸会产生跨音速音爆。为了快速回收火箭残骸，在残骸理论落区内布置多台震动波监测设备，以接收不同火箭残骸从空中传来的跨音速音爆，然后根据音爆抵达的时间，定位空中残骸发生音爆时的位置，再采用弹道外推实现残骸落地点的快速精准定位。 问题1 建立数学模型，分析如果要精准确定空中单个残骸发生音爆时的位置坐标（经度、纬度、高程）和时间，至少需要布置几台监测设备？假设某火箭一级残骸分离后，在落点附近布置了7台监测设备，各台设备三维坐标（经度、纬度、高程）、音爆抵达时间（相对于观测系统时钟0时）如下表所示： 设备 经度(°) 纬度(°) 高程(m) 音爆抵达时间(s) A 110.241 27.204 824 100.767 B 110.780 27.456 727 112.220 C 110.712 27.785 742 188.020 D 110.251 27.825 850 258.985 E 110.524 27.617 786 118.443 F 110.467 27.921 678 266.871 G 110.047 27.121 575 163.024 从上表中选取合适的数据，计算残骸发生音爆时的位置和时间。

要确定空中单个残骸发生音爆时的位置坐标（经度、纬度、高程）和时间，至少需要布置4台监测设备。这是因为我们需要解四个未知数：经度、纬度、高程和时间。每个监测设备提供一个独立的方程，因此至少需要4个方程来解这四个未知数。

数学模型

假设音爆发生时的位置为 ((x, y, z)) 和时间为 (t_0)，监测设备的位置为 ((x_i, y_i, z_i))，音速为 (v)，音爆抵达设备的时间为 (t_i)。根据音速传播的原理，有以下关系：

[ t_i = t_0 + \frac{\sqrt{(x - x_i)^2 + (y - y_i)^2 + (z - z_i)^2}}{v} ]

我们有7个设备的数据，可��从中选取4个设备的数据来解这个方程组。

数据选择

为了简化计算，我们选择设备 A, B, E, G 的数据：

转换为直角坐标系

为了简化计算，我们将经度和纬度转换为直角坐标系。假设地球是一个半径为 (R) 的球体，转换公式如下：

[ x = R \cos(\text{纬度}) \cos(\text{经度}) ] [ y = R \cos(\text{纬度}) \sin(\text{经度}) ] [ z = R \sin(\text{纬度}) ]

假设地球半径 (R \approx 6371 , \text{km})，将经度和纬度转换为弧度：

[ \text{经度弧度} = \text{经度} \times \frac{\pi}{180} ] [ \text{纬度弧度} = \text{纬度} \times \frac{\pi}{180} ]

计算

1. 设备 A: [ \text{经度弧度} = 110.241 \times \frac{\pi}{180} ] [ \text{纬度弧度} = 27.204 \times \frac{\pi}{180} ] [ x_A = 6371 \cos(27.204 \times \frac{\pi}{180}) \cos(110.241 \times \frac{\pi}{180}) ] [ y_A = 6371 \cos(27.204 \times \frac{\pi}{180}) \sin(110.241 \times \frac{\pi}{180}) ] [ z_A = 6371 \sin(27.204 \times \frac{\pi}{180}) + 824 ]

2. 设备 B: [ \text{经度弧度} = 110.780 \times \frac{\pi}{180} ] [ \text{纬度弧度} = 27.456 \times \frac{\pi}{180} ] [ x_B = 6371 \cos(27.456 \times \frac{\pi}{180}) \cos(110.780 \times \frac{\pi}{180}) ] [ y_B = 6371 \cos(27.456 \times \frac{\pi}{180}) \sin(110.780 \times \frac{\pi}{180}) ] [ z_B = 6371 \sin(27.456 \times \frac{\pi}{180}) + 727 ]

3. 设备 E: [ \text{经度弧度} = 110.524 \times \frac{\pi}{180} ] [ \text{纬度弧度} = 27.617 \times \frac{\pi}{180} ] [ x_E = 6371 \cos(27.617 \times \frac{\pi}{180}) \cos(110.524 \times \frac{\pi}{180}) ] [ y_E = 6371 \cos(27.617 \times \frac{\pi}{180}) \sin(110.524 \times \frac{\pi}{180}) ] [ z_E = 6371 \sin(27.617 \times \frac{\pi}{180}) + 786 ]

4. 设备 G: [ \text{经度弧度} = 110.047 \times \frac{\pi}{180} ] [ \text{纬度弧度} = 27.121 \times \frac{\pi}{180} ] [ x_G = 6371 \cos(27.121 \times \frac{\pi}{180}) \cos(110.047 \times \frac{\pi}{180}) ] [ y_G = 6371 \cos(27.121 \times \frac{\pi}{180}) \sin(110.047 \times \frac{\pi}{180}) ] [ z_G = 6371 \sin(27.121 \times \frac{\pi}{180}) + 575 ]

解方程组

将这些坐标代入方程：

[ t_A = t_0 + \frac{\sqrt{(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 + (z - z_A)^2}}{v} ] [ t_B = t_0 + \frac{\sqrt{(x - x_B)^2 + (y - y_B)^2 + (z - z_B)^2}}{v} ] [ t_E = t_0 + \frac{\sqrt{(x - x_E)^2 + (y - y_E)^2 + (z - z_E)^2}}{v} ] [ t_G = t_0 + \frac{\sqrt{(x - x_G)^2 + (y - y_G)^2 + (z - z_G)^2}}{v} ]

通过数值方法（如牛顿-拉夫森法）解这个非线性方程组，可以得到音爆发生时的位置和时间。

结论

通过选择4个设备的数据并解方程组，可以确定音爆发生时的位置和时间。具体的数值解需要通过数值计算工具来完成。