火箭残骸音爆定位及多残骸音爆数据分析模型建立

A题 多个火箭残骸的准确定位 绝大多数火箭为多级火箭，下面级火箭或助推器完成既定任务后，通过级间分离装置分离后坠落。在坠落至地面过程中，残骸会产生跨音速音爆。为了快速回收火箭残骸，在残骸理论落区内布置多台震动波监测设备，以接收不同火箭残骸从空中传来的跨音速音爆，然后根据音爆抵达的时间，定位空中残骸发生音爆时的位置，再采用弹道外推实现残骸落地点的快速精准定位。 问题1 建立数学模型，分析如果要精准确定空中单个残骸发生音爆时的位置坐标（经度、纬度、高程）和时间，至少需要布置几台监测设备？假设某火箭一级残骸分离后，在落点附近布置了7台监测设备，各台设备三维坐标（经度、纬度、高程）、音爆抵达时间（相对于观测系统时钟0时）如下表所示： 设备 经度(°) 纬度(°) 高程(m) 音爆抵达时间(s) A 110.241 27.204 824 100.767 B 110.780 27.456 727 112.220 C 110.712 27.785 742 188.020 D 110.251 27.825 850 258.985 E 110.524 27.617 786 118.443 F 110.467 27.921 678 266.871 G 110.047 27.121 575 163.024 从上表中选取合适的数据，计算残骸发生音爆时的位置和时间。 问题2 火箭残骸除了一级残骸，还有两个或者四个助推器。在多个残骸发生音爆时，监测设备在监测范围内可能会采集到几组音爆数据。假设空中有4个残骸，每个设备按照时间先后顺序收到4组震动波。建立数学模型，分析如何确定监测设备接收到的震动波是来自哪一个残骸？如果要确定4个残骸在空中发生音爆时的位置和时间，至少需要布置多少台监测设备？ 问题3 假设各台监测设备布置的坐标和4个音爆抵达时间分别如下表所示： 设备 经度(°) 纬度(°) 高程(m) 音爆抵达时间(s) A 110.241 27.204 824 100.767 164.229 214.850 270.065 B 110.783 27.456 727 92.453 112.220 169.362 196.583 C 110.762 27.785 742 75.560 110.696 156.936 188.020 D 110.251 28.025 850 94.653 141

问题1：单个残骸音爆位置和时间的确定

数学模型建立

为了确定单个残骸发生音爆时的位置和时间，我们可以使用多台监测设备接收到的音爆抵达时间。假设音爆在位置 ((x, y, z)) 处发生，时间为 (t_0)，音速为 (v)，第 (i) 台监测设备的坐标为 ((x_i, y_i, z_i))，音爆抵达时间为 (t_i)。

音爆传播的时间可以表示为： [ t_i = t_0 + \frac{\sqrt{(x - x_i)^2 + (y - y_i)^2 + (z - z_i)^2}}{v} ]

我们有 (n) 个方程： [ t_i - t_0 = \frac{\sqrt{(x - x_i)^2 + (y - y_i)^2 + (z - z_i)^2}}{v} ]

为了求解 ((x, y, z, t_0))，我们需要至少 4 个独立的方程，即至少需要 4 台监测设备。

数据选择与计算

从表中选择 4 台设备的数据进行计算。假设音速 (v = 340 , \text{m/s})（音速可以根据实际情况调整）。

选择设备 A, B, E, G 的数据：

将经度和纬度转换为平面坐标（假设地球是平的，或者使用适当的投影方法），然后代入上述方程组进行求解。

求解过程

1. 将经度和纬度转换为平面坐标。

2. 代入方程组： [ \begin{cases} t_A - t_0 = \frac{\sqrt{(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 + (z - z_A)^2}}{v} \ t_B - t_0 = \frac{\sqrt{(x - x_B)^2 + (y - y_B)^2 + (z - z_B)^2}}{v} \ t_E - t_0 = \frac{\sqrt{(x - x_E)^2 + (y - y_E)^2 + (z - z_E)^2}}{v} \ t_G - t_0 = \frac{\sqrt{(x - x_G)^2 + (y - y_G)^2 + (z - z_G)^2}}{v} \end{cases} ]

3. 使用数值方法（如牛顿迭代法）求解 ((x, y, z, t_0))。

问题2：多个残骸音爆的识别与定位

数学模型建立

对于多个残骸音爆的识别与定位，我们需要考虑每个监测设备接收到的多组音爆数据。假设有 (m) 个残骸，每个设备接收到 (m) 组音爆数据。

我们需要建立一个模型来匹配每组音爆数据与对应的残骸。可以使用聚类算法（如 K-means）来将音爆数据分成 (m) 组，然后对每组数据分别进行定位。

最少监测设备数量

为了确定 (m) 个残骸的位置和时间，每个残骸至少需要 4 台设备的数据。因此，总共需要至少 (4m) 台设备。

问题3：具体数据计算

假设有 4 个残骸，设备数据如下：

数据处理与计算

1. 对每个设备的音爆数据进行聚类，分成 4 组。
2. 对每组数据分��进行定位，使用与问题1相同的方法。

通过上述步骤，可以确定每个残骸在空中发生音爆时的位置和时间。