火箭残骸音爆监测与定位的数学模型及PSO求解

问题：

火箭残骸除了一级残骸，还有两个或者四个助推器。在多个残骸发生音爆时，监测设备在监测范围内可能会采集到几组音爆数据。假设空中有4个残骸，每个设备按照时间先后顺序收到4组震动波。建立数学模型，分析如何确定监测设备接收到的震动波是来自哪一个残骸？如果要确定4个残骸在空中发生音爆时的位置和时间，至少需要布置多少台监测设备？假设各台监测设备布置的坐标和4个音爆抵达时间分别如下表所示：设备经度(°) 纬度(°) 高程(m) 音爆抵达时间(s) A 110.241 27.204 824 100.767 164.229 214.850 270.065 B 110.783 27.456 727 92.453 112.220 169.362 196.583 C 110.762 27.785 742 75.560 110.696 156.936 188.020 D 110.251 28.025 850 94.653 141.409 196.517 258.985 E 110.524 27.617 786 78.600 86.216 118.443 126.669 F 110.467 28.081 678 67.274 166.270 175.482 266.871 G 110.047 27.521 575 103.738 163.024 206.789 210.306 4个残骸产生音爆的时间可能不同，但互相差别不超过5 s，用合适的群智能优化优化算法求解，给出python代码

回答：

要解决这个问题，我们需要建立一个数学模型来确定每个监测设备接收到的震动波是来自哪个残骸，并确定每个残骸在空中发生音爆时的位置和时间。我们可以使用群智能优化算法（如粒子群优化算法，PSO）来求解这个问题。

数学模型

音爆传播模型：
- 假设音爆在空气中的传播速度为 ( v )（约343 m/s）。
- 设每个残骸的音爆发生位置为 ( (x_i, y_i, z_i) ) 和时间为 ( t_i )。
- 设每个监测设备的位置为 ( (x_j, y_j, z_j) ) 和接收到音爆的时间为 ( t_{ij} )。
时间差计算：
- 对于每个监测设备 ( j ) 和每个残骸 ( i )，音爆传播时间为： [ t_{ij} = t_i + \frac{\sqrt{(x_i - x_j)^2 + (y_i - y_j)^2 + (z_i - z_j)^2}}{v} ]
目标函数：
- 我们的目标是最小化预测的音爆抵达时间和实际监测到的音爆抵达时间之间的差异。目标函数可以定义为： [ \text{Objective} = \sum_{i=1}^{4} \sum_{j=1}^{7} \left( t_{ij} - t_{ij}^{\text{measured}} \right)^2 ]
- 其中， ( t_{ij}^{\text{measured}} ) 是监测设备 ( j ) 实际测量到的音爆抵达时间。

粒子群优化算法（PSO）

PSO 是一种基于群体智能的优化算法，适用于连续优化问题。我们将使用 PSO 来优化每个残骸的音爆发生位置��时间。

Python代码

以下是使用 PSO 进行求解的 Python 代码：

import numpy as np
from scipy.spatial.distance import euclidean
from pyswarm import pso

# 音速
v = 343.0

# 监测设备的坐标和音爆抵达时间
devices = [
    (110.241, 27.204, 824, [100.767, 164.229, 214.850, 270.065]),
    (110.783, 27.456, 727, [92.453, 112.220, 169.362, 196.583]),
    (110.762, 27.785, 742, [75.560, 110.696, 156.936, 188.020]),
    (110.251, 28.025, 850, [94.653, 141.409, 196.517, 258.985]),
    (110.524, 27.617, 786, [78.600, 86.216, 118.443, 126.669]),
    (110.467, 28.081, 678, [67.274, 166.270, 175.482, 266.871]),
    (110.047, 27.521, 575, [103.738, 163.024, 206.789, 210.306])
]

# 转换为 numpy 数组
device_coords = np.array([[d[0], d[1], d[2]] for d in devices])
measured_times = np.array([d[3] for d in devices])

# 目标函数
def objective(params):
    total_error = 0.0
    for i in range(4):
        x_i, y_i, z_i, t_i = params[i*4:(i+1)*4]
        for j in range(7):
            x_j, y_j, z_j = device_coords[j]
            t_ij = t_i + euclidean((x_i, y_i, z_i), (x_j, y_j, z_j)) / v
            total_error += (t_ij - measured_times[j, i]) ** 2
    return total_error

# PSO 参数
lb = [110, 27, 500, 60] * 4  # 下界
ub = [111, 28, 900, 300] * 4  # 上界

# 运行 PSO
best_params, best_error = pso(objective, lb, ub, swarmsize=100, maxiter=200)

# 输出结果
for i in range(4):
    x_i, y_i, z_i, t_i = best_params[i*4:(i+1)*4]
    print(f"残骸 {i+1}: 位置=({x_i:.3f}, {y_i:.3f}, {z_i:.3f}), 时间={t_i:.3f} s")

解释

数据准备：将监测设备的坐标和音爆抵达时间转换为 numpy 数组。
目标函数：计算预测的音爆抵达时间和实际测量时间之间的误差平方和。
PSO 参数：定义参数的上下界。
运行 PSO：使用 pso 函数进行优化，找到最优的残骸位置和时间。
输出结果：打印每个残骸的最优位置和时间。

通过运行上述代码，可以确定每个残骸在空中发生音爆时的位置和时间。

火箭残骸音爆监测与定位的数学模型及PSO求解

由 ChatGPT4o 使用 ChatGPT 4o 回答

数学模型

粒子群优化算法（PSO）

Python代码

解释