MATLAB命令化简二次型并判断正定性的方法

回答：

要化简给定的二次型 ( f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + 3x_1x_2 - x_2^2 + 2x_2x3 + x_3^2 )，并判断其正定性，我们可以按照以下步骤进行：

写出对应的矩阵形式。
计算矩阵的特征值。
根据特征值的正负判断正定性。

在 MATLAB 中，我们可以使用以下命令来完成这些步骤：

% 定义二次型对应的矩阵
A = [1 1.5 0; 1.5 -1 1; 0 1 1];

% 计算特征值
eigenvalues = eig(A);

% 显示特征值
disp('The eigenvalues of the matrix are:');
disp(eigenvalues);

% 判断正定性
if all(eigenvalues > 0)
    disp('The quadratic form is positive definite.');
elseif all(eigenvalues >= 0)
    disp('The quadratic form is positive semi-definite.');
elseif all(eigenvalues < 0)
    disp('The quadratic form is negative definite.');
elseif all(eigenvalues <= 0)
    disp('The quadratic form is negative semi-definite.');
else
    disp('The quadratic form is indefinite.');
end

解释

定义矩阵：我们将二次型 ( f(x_1, x_2, x_3) ) 写成矩阵形式 ( \mathbf{x}^T A \mathbf{x} )，其中 ( \mathbf{x} = [x_1, x_2, x_3]^T )。矩阵 ( A ) 是对称矩阵： [ A = \begin{pmatrix} 1 & 1.5 & 0 \ 1.5 & -1 & 1 \ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} ]
计算特征值：使用 eig 函数计算矩阵 ( A ) 的特征值。
判断正定性：根据特征值的正负来判断矩阵的正定性：
- 如果所有特征值都大于零，则矩阵是正定的。
- 如果所有特征值都大于或等于零，则矩阵是半正定的。
- 如果所有特征值都小于零，则矩阵是负定的。
- 如果所有特征值都小于或等于零，则矩阵是半负定的。
- 如果特征值有正有负，则矩阵是不定的。

运行上述 MATLAB 代码可以得到矩阵的特征值，并根据特征值的正负判断二次型的正

MATLAB命令化简二次型并判断正定性的方法

由 ChatGPT4o 使用 ChatGPT 4o 回答

解释